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这个比较简单，给出两种证明过程：
命题：A是正规阵，必然存在酉阵Q满足：Q' * A * Q = D，D为对角阵且每个对角元为A的特征值。
1. A的二范数 <=> A的最大奇异值 <=> max(sqrt(eig(A' * A))) <=> max(sqrt(eig(D' * D))) <=> D的模最大对角元 <=> A的谱半径，证毕！
2. 记D = diag{λ1, λ2, ..., λn}满足|λ1| ≥ |λ2| ≥ ... ≥ |λn|，则|λ1|为A的谱半径。
2.1 令x1为λ1对应的右特征向量满足A * x1 = λ1 * x1，必然有：||A*x1||₂/ ||x1||₂= |λ1| ≤ ||A||₂
2.2 令y1为A的2范数对应的单位向量，即：||y1||₂= 1且||A||₂= ||A*y1||₂。y1可以被Q线性表出为y1 = Q * z1，且z1也为单位向量。不难得出：||A||₂= ||A*y1||₂= ||A*Q*z1||₂= ||D*z1||₂≤ |λ1|
综合2.1和2.2可得：||A||₂= |λ1|，证毕！
命题：A是正规阵，必然存在酉阵Q满足：Q' * A * Q = D，D为对角阵且每个对角元为A的特征值。
1. A的二范数 <=> A的最大奇异值 <=> max(sqrt(eig(A' * A))) <=> max(sqrt(eig(D' * D))) <=> D的模最大对角元 <=> A的谱半径，证毕！
2. 记D = diag{λ1, λ2, ..., λn}满足|λ1| ≥ |λ2| ≥ ... ≥ |λn|，则|λ1|为A的谱半径。
2.1 令x1为λ1对应的右特征向量满足A * x1 = λ1 * x1，必然有：||A*x1||₂/ ||x1||₂= |λ1| ≤ ||A||₂
2.2 令y1为A的2范数对应的单位向量，即：||y1||₂= 1且||A||₂= ||A*y1||₂。y1可以被Q线性表出为y1 = Q * z1，且z1也为单位向量。不难得出：||A||₂= ||A*y1||₂= ||A*Q*z1||₂= ||D*z1||₂≤ |λ1|
综合2.1和2.2可得：||A||₂= |λ1|，证毕！
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富港检测技术（东莞）有限公司_
2024-04-02 广告
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