Question

正项数列{An}满足A1=1，A(n+1)=An/(2^nAn+1)求（2^n-1）An/(n^2+n)的前n项和

、、、、度

Answer 1

解：
a(n+1)=an/(2ⁿ×an +1)
1/a(n+1)=(2ⁿ×an +1)/an=1/an +2ⁿ
1/a(n+1)-1/an=2ⁿ
1/an -1/a(n-1)=2^(n-1)
1/a(n-1)-1/a(n-2)=2^(n-2)
…………
1/a2-1/a1=2
累加
1/an -1/a1=2+2²+...+2^(n-1)=2×[2^(n-1) -1]/(2-1)=2ⁿ-2
1/an =1/a1+2ⁿ-2=1/1+2ⁿ-2=2ⁿ-1
an=1/(2ⁿ-1)
n=1时，a1=1/(2-1)=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=1/(2ⁿ-1)
(2ⁿ-1)an/(n²+n)=(2ⁿ-1)[1/(2ⁿ-1)]/[n(n+1)]=1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)

Tn=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n -1/(n+1)
=1 -1/(n+1)
=n/(n+1)