Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)左右两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)若椭圆上存在点P

使得a/sinPF1F2=c/sin PF2F1,则该离心率取值范围

Answer 1

a/sinPF1F2=c/sinPF2F1
c/a=sinPF2F1/sinPF1F2
而由正弦定理知：sinPF2F1/sinPF1F2=|PF2|/|PF1|
所以，e=c/a=|PF2|/|PF1|
|PF1|+|PF2|=2a
所以，(e+1)|PF1|=2a
|PF1|=2a/(e+1)
|PF2|=e|PF1|=2ae/(e+1)
而：||PF1|-|PF2||≤|F1F2|=2c
所以。2a(1-e)/(e+1)≤2c
(1-e)/(1+e)≤e
e^2+2e-1≥0,e>0
所以，e≥√2-1

椭圆离心率的范围是:[√2-1,1)

Answer 2

a/sinPF1F2=c/sin PF2F1
∴c/a=sin ∠PF2F1/sin∠PF1F2
根据正弦定理：
PF2/sin∠PF1F2= PF1/sin∠PF2F1
∴PF1/PF2=sin∠PF2F1/sin∠PF1F2
c/a=PF1/PF2=(2a-PF2)/PF2=2a/PF2-1
(e+1)=2a/PF2
∴PF2=2a/(e+1)
∵PF2∈(a-c,a+c)
∴a-c<2a/(e+1)<a+c
∴1-e<2/(e+1)<1+e
∴1-e²<2且（e+1)²>2
1-e²<2成立
（e+1)²>2 ==> e+1>√2,e>√2-1
又0<e<1 ∴√2-1<e<1
即离心率取值范围是(√2-1,1)

不应该等于√2-1，P,F1,F2三点不共线

Answer 3

解：在△PF1F2中，由正弦定理：|PF1|/(sin∠PF2F1)=|PF2|/(sin∠PF1F2)
∴(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=|PF2|/|PF1|
∵a/(sin∠PF1F2)=c/(sin∠PF2F1)，∴(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=a/c
∴a/c=|PF2|/|PF1|，而|PF1|+|PF2|=2a
∴|PF1|=2ac/(a+c), |PF2|=2a^2/(a+c)
∵a/(sin∠PF1F2)=c/(sin∠PF2F1)中分母sin∠PF1F2不为0
∴P、F1、F2不可能共线，∴(a-c)<|PF1|
∴(a-c)<2ac/(a+c)，∴a^2-c^2<2ac
∴1-e^2<2e
∴解得：根号2-1<e<1
即该双曲线离心率取值范围是(根号2-1,1)

望采纳！有问题请追问！