Question

函数f(x)对任意的a，b属于R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x＞0时，有f...

函数f(x)对任意的a，b属于R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x＞0时，有f(x)＞1。 （1）求证：f(x)是R上的增函数； （2）若f(4)＝5，解不等式f(3m^2－m－2)＜3。

Answer 1

(1) f(x+1)-f(x)=f(x)+f(1)-1-f(x)=f(1)-1
因为当x>0时，f(x)>1
得出f(1)-1>0
所以f(x)是R上的增函数

(2) f(4)=5
f(2+2)=5
f(2)+f(2)-1=5
2*f(2)=6
得出f(2)=3

因f(3m^2-m-2)<3，f(x)是增函数
所以f(3m^2-m-2)<f(2)
3m^2-m-2<2
3m^2-m-4<0
(3m-4)(m+1)<0
得出-1<m<4/3

Answer 2

设x1>x2
a=x2
b=x1-x2
f(a+b)=f(a)+f(b)-1
f(x1)=f(x2)+f(x1-x2)-1
f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1
当x>0时，f(x)>1,f(x1-x2)>1
f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1>1-1=0
f(x1)>f(x2)
f(x)是R上的增函数

a=b=2
f(4)=f(2)+f(2)-1
5=2f(2)-1
f(2)=3
f(3m^2-m-2)<3=f(2)
3m^2-m-2<2
3m^2-m-4<0
(3m-4)(m+1)<0
-1<m<4/3

Answer 3

1）令a∈R，b＞0，则f(a+b)-f(a)=f(b)-1＞0，∴f(x)是R上的增函数
2）f(2)=3,∴3m²-m-4＜0 ∴-1＜m＜4／3