Question

如图，已知PA为⊙O的切线，点A为切点，PBC为割线∠APC=45°，点D为CB的中点，点E为OP的中点。

试判断△AED为何特殊的三角形，并证明你的结论。

Answer 1

OA垂直PA，OA=1/2OP，所以<OPA=30度，三角形OAE为等边
过OD的直径平分BC，所以OD垂直于BC
<OPD=15度
OD=OPsin15=2OAsin15
AD^2 = OA^2 + OD^2 - 2AO*ODcos135 = OA^2 + OD^2+ 2AO*ODsin45
DE^2 = OE^2 + OD^2 - 2OE*ODcos75
AE^2 + DE^2 - AD^2 = 2OE^2 + OD^2 - 2OE*ODcos75
- OA^2 - OD^2 - 2AO*ODsin45 = 0
所以AE^2+DE^2 = AD^2
ADE为直角三角形

Answer 2

△AED为等腰直角三角形
证明:连接OA.OD,易知,OD垂直于BC,OA垂直于AP,E为OP的中点.AE和DE是斜边中线,
AE=DE=1/2OP,<EAP=<APE,<EDP=<EPD
<AE0=2<APE,<DEO=2<EPD
<AED=<AE0+<DEO=2(<APE+<EPD)=2<APC=2*45=90°,AE=DE=1/2OP
△AED为等腰直角三角形