Question

设函数f(x)二阶可导,f(0)=1/2,且满足2∫f(t)dt=e^3x+3f(x)-f`(x),求f(x)

Answer 1

令x=0,得
0=1＋3f（0）-f’（0）
f‘（0）=5/2
两边同时求导,得
2f（x）=3e的3x次方＋3f’（x）-f‘’（x）
f‘’（x）-3f‘（x）＋2f（x）=3e的3x次方
1.f‘’（x）-3f‘（x）＋2f（x）=0的通解
特征方程为r²-3r＋2=0
（r-1）（r-2）=0
r=1或r=2
Y=c1 e的x次方＋c2e的2x次方
2.f‘’（x）-3f‘（x）＋2f（x）=3e的3x次方的特解
设特解形式为y=a·e的3x次方
y’=3ae的3x次方
y‘’=9ae的3x次方
代入,得
9ae的3x次方-9ae的3x次方＋2ae的3x次方=3e的3x次方
2ae的3x次方=3e的3x次方
a=3/2
所以特解为y=3/2·e的3x次方
所以
通解为f（x）=c1 e的x次方＋c2e的2x次方＋3/2·e的3x次方
f‘（x）=c1 e的x次方＋2c2 e的2x次方＋9/2·e的3x次方
由f（0）=1/2,f‘（0）=5/2
1/2=c1＋c2 ＋3/2
5/2=c1＋2c2＋9/2
解得
c1=0,c2=-1
所以
特解f（x）=-2 e的2x次方＋9/2·e的3x次方