Question

如图 在△ABC的外接圆O中 D是弧BC的中点 AD交BC于点E 连接BD

1 列举图中所有相似三角形
2 连接DC若在弧BAC上任取一点K（点A B C）除外 连接CK DK DK交BC于点F DC²=DF·DK是否成立？若成立 给出证明 不成立则举例说明

Answer 1

设AD与BC相交于E，则
BD弧=CD弧，
〈BAD=〈DAC，
△ABE∽△ADC，
△ABE∽△CED，
△ACE∽△BDE，
△CED∽△ACD，
2、DC^2=DF*DK,等式成立。
证明：∵〈DKC=〈BAD，（同弧圆周角相等），
∵D是BC弧中点，
∴〈BAD=〈DAC，（等弧对等角），
∵〈FCD=〈BAD，（同弧圆周角相等），
∴〈FCD=〈DKC，
∵〈FDC=〈CDK（公用角），
∴△DFC∽△DCK，
∴CD/DK=DF/CD，
∴CD^2=DF*DK