Question

已知AB为圆O的直径，D为弧BC 的中点，连接BC，交AD于E,DG垂直于AB于G,

已知AB为圆O的直径，D为弧BC 的中点，连接BC，交AD于E,DG垂直于AB于G,求证：1)BD^2=AD8DE 2) 若tanA=3/4,DG=8,求DE的长

Answer 1

（1）因为D为弧BC的中点
所以∠DAB=∠CBD
又∠ADB=∠BDE
所以△ADB∽△BDE
所以DE：DB=DB：DA
所以BD^2=AD*DE
（2）因为tanA=3/4,DG=8
所以DG：AG=3：4=8：32/3
所以AD=40/3
tanA=BD：AD=3：4=10：40/3
由（1）得BD^2=AD*DE
则DE=BD^2/AD=100/(40/3)=15/2

Answer 2

（1）因为D为弧BC的中点
所以∠DAB=∠DBC=∠DBE
因为AB是直径
所以∠ADB=90度
△ADB和△DBE是直角三角形
tan∠DAB=DB:AD
tan∠DBE=DE:DB
因为∠DAB=∠DBE
所以tan∠DAB=tan∠DBE
DB:AD=DE:DB
DB^2=AD*DE
（2）
在直角三角形DAG中tanA=DG:AG=3/4,DG=8
所以AG=32/3
AD^2=AG^2+DG^2
所以AD=40/3
在直角三角形DAB中tanA=BD：AD=3：4
所以BD=10
由（1）得BD^2=AD*DE
则DE=BD^2/AD=100/(40/3)=15/2

Answer 3

⑴①∵弧CD=弧BD，∴∠DBC=∠DAB，
∵AB是直径，∴∠BDG+∠ADG=90°，
∵DG⊥AB，∴∠ADG+∠DAB=90°，
∴∠BDG=∠DAB=∠CBD，
∴DF=BF。
②∵∠CBD=∠DAB(由⑴已证)，∠ADB为公共角，
∴ΔDAB∽ΔDBE，
∴DA/DB=DB/DE，∴DB^2=DA*DE。
③在RTΔBDE中，∠DBE+∠DEB=90°，∠BDF+∠EDF=90°，
又∠DBF=∠BDF，∴∠DEB=∠EDF，∴EF=DF=BF，
∴BE=2BF，
由②相似得：DB/AB=DE/BE，
∴DE*AB=DB*BE=2DB*BF。
⑶在RTΔADG中，tanA=DG/AG，DG=8，∴AG=32/3，
∴AD=√(AG^2+DG^2)=40/3，
又在RTΔABD中：
tanA=BD：AD=3：4，∴BD=10，
由（1）得BD^2=AD*DE
则DE=BD^2/AD=100/(40/3)=15/2。

Answer 4

（1）becauseD为弧BC的中点
所以∠DAB=∠DBC=∠DBE
因为AB是直径
所以∠ADB=90度
△ADB和△DBE是直角三角形
tan∠DAB=DB:AD
tan∠DBE=DE:DB
因为∠DAB=∠DBE
所以tan∠DAB=tan∠DBE
DB:AD=DE:DB
DB^2=AD*DE
（2）because在直角三角形DAG中tanA=DG:AG=3/4,DG=8
所以AG=32/3
AD^2=AG^2+DG^2
所以AD=40/3
在直角三角形DAB中tanA=BD：AD=3：4
soBD=10
由（1）得BD^2=AD*DE
则DE=BD^2/AD=100/(40/3)=15/2