Question

如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且|MD|= 4 /5 |PD|

（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率
4 /5
的直线被C所截线段的长度
第二问用点到直线距离为什么算不了

Answer 1

郭敦顒回答：
点D是P在x轴上的射影，就是PD⊥X轴于D（D是垂足）。
（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程
当点P位于Y轴上时，其坐标是P（0，5）和P（0，－5），点M的坐标相应是M（0，4）和M（0，－4）；当当点P位于X轴上时，其坐标是P（5，0）和P（－5，0），点M的坐标相应是M（5，0）和M（－5，0），
所以，点M的轨迹C的方程是：x²/5²+y²/4²=1
证明略（望提问者能自行证明）。
（Ⅱ）∵点（3，0）且斜率为4 /5的直线 为AB，
∴(y－0)/( x－3)=4/5,
∴AB的直线方程是:y=(4/5) x－2.4, x=0时, y=－2.4,
∴它们的坐标分别是：A（3，0），B（0，－ 2.4）.
延长AB交椭圆C于E,则AE即为直线被C所截线段的长度.设点E的坐标是E(x, y),则
y=(4/5) x－2.4 (1)
x²/5²+y²/4²=1 (2)
解上联立方程,化简(2)得,16 x ²+ 25y ²=500, (3)
(1)代入(3)得, 16x ²+16x ²－96 x+144=500
∴32 x ²－96 x－356=0,
∴8x²－24x－89,
∴x1=(24+58.515)/16=5.157, x2=(24－58.515)/16=－2.1572,将x1舍去,
∴x=－2.1572
∴y=－2.1572×0.8－2.4=－4.1258
点E的坐标是E(－2.1572, －4.1258)
∴AE=√[(3+|－2.1572|)²+|－4.1258|²]=6.6045.
第二问用点到直线距离为什么算不了?
截点E在直线AB (延长线) 上,点E在第三象限.

未见图，我的草图不上传了。

Answer 2

（Ⅰ）
设M(a,b),则a=x,b=4y/5,y=5b/4
带入圆方程；a∧2+(5b/4)∧2=25
整理得：a∧2/25+b∧2/16=1
令a=x,b=y
则M点的轨迹c方程为椭圆：
x∧2/25+y∧2/16=1
（Ⅱ）
设，直线方程为：y=kx+b
将k=4/5,点（3，0）
带入并整理得
y=4/5x-12/5
带入椭圆方程c并整理得
直线与椭圆两个交点A、B坐标为：
A[(3+√41)/2,(-6+2√41)/5];
B[(3-√41)/2,-(6+2√41)/5];
AB∧2=[(3+√41)/2-(3-√41)/2]∧2+[(-6+2√41)/5+(6+2√41)/5]∧2
解之得：AB=41/5
即直线被C所截线段的长度为41/5