Question

为什么不同特征值对应的特征向量一定线性无关？还有怎么判断一个n阶矩阵有n个线性无关的特征向量？

有具体的证明和算法最好。
还有就是，几何重数是不是特征矩阵阶数减去矩阵的秩？

Answer 1

特征值a的几何重数就是 n-r(A-aE)

也就是齐次线性方程组 (A-aE)X=0 的基础解系所含向量的个数

几何重数不超过代数重数

Answer 2

对于不同特征值对应的特征向量的无关性，直接用线性无关的定义，借助Vandermonde行列式即可
至于几何重数的具体信息，从Jordan标准型里直接可以读出来

追问

第一个饭的蒙行列式，能弄懂，第二个是什么意思？代数重数为什么大于几何重数？能给证明吗？

追答

如果A关于某特征值lambda有一组特征向量x_1,...,x_k，构造可逆阵P=[x_1,...,x_k,*]，那么P^{-1}AP是分块上三角阵，左上角块对应k个特征值lambda，右下角块仍可能有lambda，这就证明了几何重数不超过代数重数。从Jordan标准型看更直接，想搞清楚特征值先学完Jordan型再说。