Question

若等比数列{an}的公比q≠1,且a3,a5,a4成等差数列k属于N*,证明Sk+2 Sk Sk+1成等差

a5,a3,a4 成等差

Answer 1

设公比为q
因为a5.a3.a4成等差数列
所以2a3=a5+a4
即2a1q²=a1q^4+a1q^3
→q²+q-2=0
(q+2)(q-1)=0
因为公比q不为1
所以q=-2
Sk=a1*[1-(-2)^k]/[1-(-2)]=a1*[1-(-2)^k]/3
S(k+1)=a1*[1-(-2)^(k+1)]/[1-(-2)]=a1*[1-(-2)^(k+1)]/3
S(k+2)=a1*[1-(-2)^(k+2)]/[1-(-2)]=a1*[1-(-2)^(k+2)]/3

2Sk=2a1*[1-(-2)^k]/3=2a1/3+(-2)^(k+1)/3

S(k+2)+S(k+1)=a1*[1-(-2)^(k+2)]/3+a1*[1-(-2)^(k+1)]/3
=2a1/3+2*(-2)^(k+1)/3-(-2)^(k+1)/3
=2a1/3+(-2)^(k+1)/3
因为2Sk=S(k+2)+S(k+1)。
所以对任意k(正数），S(k+2),Sk,S(k+1)成等差数列

Answer 2

2,a3=a5＋,a4 即2a1×q^2=a1×q^4＋a1×q^3 即q²＋q-2=0 又∵q≠1∴q=2
∵Sk+2＋Sk+1=[2a1×﹙1﹣q^k﹚]／﹙1－q﹚=2Sk
∴Sk+2 Sk Sk+1成等差数列