Question

（1）在△abc中,∠a=30°,∠acb=135°,ac=20,求△abc的面积

（2）若将∠acb=135°改为105°，求△abc的面积

Answer 1

(1)在△abc中,∠a=30°,∠acb=135°,ac=20,求△abc的面积
过c在△abc内作∠bcd=15°,cd交ac于点d,
∵∠a=30°,∠acb=135°
∴∠abc=180°-∠a-∠acb=15°=∠bcd,∠adc=∠bcd+∠abc=30°=∠a
∴ac=cd=bd
∵ac=20
∴△abc中,ab=ad+bd=2ac*cos30°+ac=20(1+√3)
∴S△abc=ac*ab*sin30°/2=100(1+√3)
(2)若将∠acb=135°改为105°，求△abc的面积
在△abc内过c作cd⊥ab于点d,
∵∠a=30°,∠acb=105°
∴∠abc=180°-∠a-∠acb=45°,∠bcd=90°-∠abc=45°=∠abc
∴ac*sin30°=cd=bd
∵ac=20
∴△abc中,ab=ad+bd=ac*cos30°+ac*sin30°=10(1+√3)
∴S△abc=ac*ab*sin30°/2=50(1+√3)