Question

如图所示，三角形ABC中，I是内心，AI的延长线交BC于D，交三角形ABC的外接圆于E。求证；【1】IE=EC;

[2]IE²=ED×AE

Answer 1

第一个问题：
∵A、B、E、C共圆，∴∠BAE＝∠ECD。
∵I是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠ECD＝∠EAC。
∵I是△ABC的内心，∴∠ACI＝∠DCI。
由三角形外角定理，有：∠EIC＝∠EAC＋∠ACI＝∠ECD＋∠DCI＝∠ECI，∴IE＝EC。

第二个问题：
∵∠ECD＝∠EAC、∠CED＝∠AEC，∴△ECD∽△EAC，∴EC/AE＝ED/EC，而IE＝EC，
∴IE/AE＝ED/IE，∴IE^2＝ED·AE。