Question

在直角坐标系XOY中，已知点P是反比例函数Y=2根号3/x （x>0）图像上一个动点

在直角坐标系XOY中，已知点P是反比例函数Y=2根号3/x （x>0）图像上一个动点，以P为圆心的圆始终与Y轴相切，设切点为A，⊙P运动到与X轴相交，设交点为B，C，当四边形ABCP是菱形时；求过A，B，C三点的抛物线的解析式

Answer 1

四边形ABCP是菱形得角APC=120度，角PAB=60度，所以角OAB=30度，设p横坐标为x0,则OB=x0/2，OA=1/2*根号3*x0,在直角三角形AOB中运用勾股定理解得x0=2,所以A（0，根号3），B（1,0），C（3,0）。
设所求的抛物线为y=ax^2+bx+c,把ABC三点的坐标代入抛物线方程解得
a= - （根号3）/3，b= - （4根号3）/3，c=根号3，将a b c代入抛物线方程即可得到最终答案

追问

为什么能得到ABCP的APC是120度？

追答

连接BP，在圆中，AP=BP=PC，而四边形ABCP是菱形，所以PB=PC=BC，所以三角形PBC是等边三角形，同理，三角形APB也是等边三角形，所以角APC是120度

追问

在直角三角形AOB中运用勾股定理解得x0=2,这步怎么来的？

追答

p横坐标为x0，AB=AP=x0,角OAB=30度,所以OB=1/2x0,OA=根号3/2x0，运用勾股定理有
（根号3/2x0）^2+(1/2x0)^2=x0^2,解得x0=2.
这样讲能理解吗？希望能帮到你，觉得好的话记得评论哦！

追问

3/4 x0^2 + 1/4 x0^2 = x0^2
算出来怎么会是2？

追答

不好意思，不是用勾股定理得到的，而是OA=y0=2根号3/x0,即1/2*根号3*x0=2根号3/x0，解得x0=2或x0=-2（舍去）（因为x>0）

Answer 2

（1）四边形OKPA是正方形．当⊙P分别与两坐标轴相切时，PA⊥y轴，PK⊥x轴，x轴⊥y轴，且PA=PK，可判断结论；
（2）①连接PB，设点P（x， ），过点P作PG⊥BC于G，则半径PB=PC，由菱形的性质得PC=BC，可知△PBC为等边三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG= ，利用sin∠PBG= ，列方程求x即可；
②求直线PB的解析式，利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的M点坐标即可．
解答：（1）四边形OKPA是正方形．
证明：∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四边形OKPA是矩形．
又∵OA=OK，
∴四边形OKPA是正方形．（2分）
（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为 ．
过点P作PG⊥BC于G．
∵四边形ABCP为菱形，
∴BC=PA=PB=PC．
∴△PBC为等边三角形．
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG= ．
sin∠PBG= ，即 ．
解之得：x=±2（负值舍去）．
∴PG= ，PA=BC=2．（4分）
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG﹣BG=1，OC=OG+GC=3．
∴A（0， ），B（1，0）C（3，0）．（6分）
设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．
据题意得：
解之得：a= ，b= ，c= ．
∴二次函数关系式为： ．（9分）
②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：
解之得：u= ，v= ．
∴直线BP的解析式为： ．
过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为： ．
解方程组：
得： ； ．
过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为： ．
∴0= ．
∴ ．
∴直线CM的解析式为： ．
解方程组：
得： ； ．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0， ），（3，0），（4， ），（7， ）．（12分）
解法二：∵ ，
∴A（0， ），C（3，0）显然满足条件．
延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴ ．
∴点M的纵坐标为 ．
又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．
∴点M（4， ）符合要求．
点（7， ）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0， ），（3，0），（4， ），（7， ）．（12分）
解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴ ．
∴点M的纵坐标为 ．
即 ．
解得：x1=0（舍），x2=4．
∴点M的坐标为（4， ）．
点（7， ）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0， ），（3，0），（4， ），（7， ）．（12分）