Question

已知sina+cosa=1,求(sina)^2+(cosa)^2,(sina)^3+(cosa)^3,(sina)^4+(cosa)^4的值。求一般性结论。

Answer 1

sin²a+cos²a=1

sina+cosa=1
(sina+cosa)²=1
sin²a+2sinacosa+cos²a=1
2sinacosa+1=1
2sinacosa=0
sinacosa=0

sin³a+cos³a
=(sina+cosa)(sin²a-sinacosa+cos²a)
=1×(1-0)
=1

sin⁴a+cos⁴a
=(sin²a+cos²a)²-2sin²acos²a
=1²-0
=1

一般性结论：
已知sina+cosa=1，则sinⁿa+cosⁿa=1。
证：
sina+cosa=1 sinacosa=0 (这一步从略)
n=1时，sina+cosa=1 (已知)
假设当n=k (k∈N且k≥1)时，
(sina)^k +(cosa)^k=1，则当n=k+1时，
(sina)^(k+1) +(cosa)^(k+1)
=[(sina)^k +(cosa)^k](sina+cosa) -(sina)^kcosa -sina(cosa)^k
=1×1 -sinacosa[(sina)^(k-1) +(cosa)^(k-1)]
=1-0
=1
k为任意正整数，因此对任意正整数n，等式恒成立，即sinⁿa+cosⁿa=1。

Answer 2

sina+cosa=1

又sin²a+cos²a=1
则由(sina+cosa)²=sin²a+cos²a+2sinacosa
即：1=1+2sinacosa
得：sinacosa=0
（1）sina=0，cosa=1；则：(sina)^2+(cosa)^2=1
(sina)^3+(cosa)^3=1
(sina)^4+(cosa)^4=1
（2）sina=1，cosa=0；则：(sina)^2+(cosa)^2=1
(sina)^3+(cosa)^3=1
(sina)^4+(cosa)^4=1
即：(sina)^n+(cosa)^n=1

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O