Question

当x>0时，试取对数证明(1+x)^(1+1/x)<e^(1+x/2). 求帮忙~~~ 求详细过程！！！

Answer 1

解：设f(x)=ln(1+x)-(2x+x^2)/(2x+2)

则f'(x)=1/(1+x)-(2x^2+4x+4)/[4(x+1)^2]=-x^2/[2(x+1)^2]<0
即函数f(x)是单调递减的！
而x>0, f(0)=0
∴f(x)<0恒成立
∴ln(1+x)-(2x+x^2)/(2x+2)<0
∴ln(1+x)<(2x+x^2)/(2x+2)
∴(x+1)ln(1+x)<(x+x^2/2)
∴(1+1/x)ln(1+x)<(1+x/2)
∴(1+x)^(1+1/x)<e^(1+x/2)

望采纳！有问题请追问！