Question

已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x=根号5/5,离心率e=根号5。（1）求双曲线的方程

(2)点A的坐标（-根号5.，0），B是圆x2+(y-根号5）=1上的点，点M在双曲线的右支上，求MA的绝对值+MB的绝对值的最小值，并球此时M点的坐标

Answer 1

解：
（1）由题意可知此双曲线是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，
设其方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(其中a>0， b>0)
则e=√5=c/a
a^2/c=√5/5
解得a=1， c=√5，b^2=c^2-a^2=4
所以 双曲线方程为x^2-y^2/4=1
(2)由（1）可知双曲线的两个焦点是（-√5，0）和（√5，0），
由圆的方程可知圆心为（0，√5），半径为r=1，
设F（√5，0），C（0，√5），
连接CF，与已知圆及双曲线分别相交于点P、Q，连接CM与圆交与R，
则|MA|+|MB|>=(2a+|MF|)+(|MC|-r)=|MF|+|MC|-1+2>=|QF|+|QC|+1
=|CF|+1=1+√10(当且仅当B与P、M与Q重合时取等号）
点M的坐标可通过直线CF的方程x+y=√5与双曲线方程联立求得
x1=( - √5+4√2)/3，x2=( - √5 - 4√2)/3
点Q(即M）横坐标为整数，而x2<0，故舍去x2.
代入直线方程得y=(4√5-4√2)/3.
所以此时点M的坐标为（( - √5+4√2)/3，(4√5-4√2)/3）。