Question

如图所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是

Answer 1

方法一：
以A1为原点，A1C1、A1A所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，使B落在第一挂限内。
利用赋值法，令正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长为2，则容易得出：
B1（√3，1，0）、A（0，0，2）、B（√3，1，2）、M（0，2，1）。
∴向量AB1＝（√3，1，－2）、向量BM＝（－√3，1，－1）。
∴向量AB1·向量BM＝－3＋1＋2＝0，∴AB1⊥BM，∴AB1和BM所成角的大小为90°。

方法二：
令AB1的中点为N。
∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴AC＝B1C1、∠ACM＝∠B1C1M＝90°，又CM＝C1M，
∴△ACM≌△B1C1M，∴AM＝B1M，而N∈AB1且AN＝B1N，∴AB1⊥MN。

∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴AB＝B1B，又N∈AB1且AN＝B1N，∴AB1⊥BN。
由AB1⊥MN、AB1⊥BN、BN∩MN＝N，∴AB1⊥平面BMN，∴AB1⊥BM，
∴AB1和BM所成角的大小为90°。