Question

已知抛物线y²=2px,过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,求证:向量OA×向量OB为定值

Answer 1

F（p/2，0），设直线 AB 的方程为 y=k(x-p/2) ，
与抛物线方程联立得 2py=k(2px-p^2) ，
化简得 ky^2-2py-kp^2=0 ，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则 y1+y2=2p/k ，y1*y2= -p^2 ，
所以 x1*x2=(y1^2/2p)*(y2^2/2p)=p^2/4 ，
因此 OA*OB=x1*x2+y1*y2=p^2/4-p^2= -3p^2/4 为定值 。

追问

为啥联立后 有这个2py=k(2px-p^2) 啊 怎么弄的 没明白

追答

直接把 y=k(x-p/2) 代入抛物线方程太麻烦，因此就想把抛物线方程代入直线方程。
可是这时要出来分母，分式计算仍嫌麻烦，
那么，直接让方程中出来 2px 这样的结构，岂不是简单了么？？
所以，就在 y=k(x-p/2) 的两端同乘以 2p ，得 2py=k(2px-p^2) ，
然后把 2px 换成 y^2 ，得 2py=k(y^2-p^2) ，
化简得 ky^2-2py-kp^2=0 。

懂了么？欢迎追问。