Question

设A为n阶实对称矩阵,且A^2+A-3E=0,D=1是A的一重特征值,计算行列式A+2E的值

Answer 1

因为 A^2+A-3E=0
所以 A 的特征值 满足 λ^2+λ-3=0

题目不对吧

追问

是对的呀 老师 哦哦 是A^2+2A-3E=0 老师再帮忙解答下把 谢谢啦

追答

因为 A^2+2A-3E=0
所以 A 的特征值 满足 λ^2+2λ-3=0
所以 (λ-1)(λ+3)=0
因为1是A的一重特征值
所以A的全部特征值为 1,-3,-3
所以A+2E 的特征值为(λ+2): 3,-1,-1
所以 |A+2E| = 3*(-1)*(-1) = 3.

追问

老师 可是为啥答案是 (-1)^n-1*3呢

追答

哦 我看成A是3阶的了
稍改一下就行
因为1是A的一重特征值
所以A的全部特征值为 1,-3,-3,...,-3
所以A+2E 的特征值为(λ+2): 3,-1,-1,...,-1
所以 |A+2E| = 3*(-1)^(n-1) .

追问

老师 我还有点不动的是
题目是1是A的一重特征值 意思是1是重根还是什么意思啊
就是这里我有点不懂

追答

一重特征值, 就是特征多项式的单重根, 只有一个 (λ-1)因子

Answer 2

了