Question

如图，一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截到的几何体，截面为ABC，已知A1B1=B1C1=1，

如图，一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截到的几何体，截面为ABC，已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3
1.设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1
2.求二面角B-AC-A1的大小
3.求此几何体的体积

Answer 1

（1）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．
则OD∥BB1∥CC1．
因为O是AB的中点，
所以OD=12(AA1+BB1)=3=CC1．
则ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D．C1D⊂平面C1B1A1且OC⊄平面C1B1A1，
则OC∥面A1B1C1．
（2）如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2．
作BH⊥A2C2于H，连CH．
因为CC1⊥面BA2C2，所以CC1⊥BH，则BH⊥平面A1C．
又因为AB=5，BC=2，AC=3⇒AB2=BC2+AC2．
所以BC⊥AC，根据三垂线定理知CH⊥AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角．
因为BH=22，所以sin∠BCH=BHBC=
12，故∠BCH=30°，
即：所求二面角的大小为30°．
（3）因为BH=22，所以VB-AA2C2C=13SAA2C2C•BH=
13•
12(1+2)•
2•
22=
12．VA1B1C1-A2BC2=S△A1B1C1•BB1=12•2=1．
所求几何体体积为V=VB-AA2C2C+VA1B1C1-A2BC2=32．