Question

设F1,F2分别为椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(1).若椭圆C上的(1,3/2)到F1,F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的

(1).若椭圆C上的(1,3/2)到F1,F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
(2).设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．

Answer 1

设P(1,3/2),根据椭圆的定义,
|PF1|+|PF2|=2a,
∴2a=4,a=2,
长半轴长为2,
设焦点在X轴,
则方程为:x^2/4+y^2/b^2=1,
1/4+(9/4)/b^2=1,
b=√3,
则椭圆方程为:x^2/4+y^2/3=1,
c=1,
焦点坐标为:F1(-1,0),F2(1,0).
若焦点在Y轴,
设方程为:y^2/4+x^2/b^2=1,
(9/4)/4+1/b^2=1,
b=4√7/7<a=2,
∴焦点在Y轴.方程为:y^2/4+7x^2/16=1.
c=2√21/7,
焦点坐标:F1(0,-2√21/7),F2(0,2√21/7).
2、设焦点在X轴，
椭圆方程为：x^2/4+y^2/3=1,
F1（-1，0），
设K（x1,y1),
椭圆参数方程为：
x=2cost,
y=√3sint,
M（x0,y0)为F1K的中点，
x1=2cost1,
y1=√3sint1,
x0=(-1+2cost1)/2,
y0=(-1+√3sint1)/2，
cost1=(2x0+1)/2,
sint1=(2y0+1)/√3，
两边平方，消去参数t1,
用x,y替换x0,y0,
(2x+1)^2/4+(2y+1)^2/3=1,
∴线段F1K的中点的轨迹方程为：
（x+1/2)^2+(y+1/2)^2/(√3/2）^2=1.
仍然是椭圆，但中心不在原点。
焦点若在Y轴方法相同。

Answer 2

准线法