Question

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于点C．

已知B（8，0），tan∠ABC=
12
△ABC的面积为8．
（1）求抛物线的解析式；（2）若动直线EF（EF∥x轴）从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴负方向平移，且交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．连接FP，设运动时间t秒．当t为何值时， EF•OPEF+OP的值最大，求出最大值；（3）在满足（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∵B点坐标为（8、0），tan∠ABC=12，
∴OB=8，
而tan∠ABC=OCOB=12，
∴OC=4，
∴C（0，4），
又∵△ABC的面积为8，
∴8=12×4×OA，
∴OA=4，
∴A（4，0），
依题意得0=16a+4b+c​0=64a+8b+c4=c​​，
解之得：a=18，b=-32，c=4，
∴y=
18x2-
32x+4；

（2）存在，根据（1）得BA=4，AC=4
2，BC=45，
依题意得：BP=2t，
∵CE=t，tan∠ABC=12，
∴EF=2t，∴CF=5t，
∴BF=4
5-
5t
由△BPF∽△BAC得4
5-
5t4
5=
2t4，得t1=43
由△BPF∽△BCA得4
5-
5t4=
2t4
5化简，t2=
207
所以：t1=43，t2=
207；

（3）根据（2）得BP=2t，MF∥AP，
又直线AC经过A（4，0），C（0，4），那么其解析式为：y=-x+4，
而动直线EF（EF∥x轴），从C点开始，以每秒1个长度单位的速度向X轴方向平移，与X轴重合时结束，并且分别交y轴、线段CB于E、F两点，AC与EF交于点M，M的纵坐标为4-t，
∴M的横坐标为t，
而EF：OB=CE：OC，
∴EF=2t，
∴MF=2t-t=t，
若M、P、A、F所围成的图形是平行四边形，那么MF=AP，
∴t=8-4-2t=4-2t，
∴t=43；
若M、P、A、F所围成的图形是等腰梯形，那么AM=PF，
∴t=2，
若M、P、A、F所围成的图形是等腰直角三角形，
那么AP重合，
∴t=245．

Answer 2

此题有误吗？
同查：OB=8根据正切值OC=8*12也是三角形ABC的高
根据面积AB值应该是1/6六分之一？确认没错？

追问

没有吧。。。我第一小题写出来的

Answer 3

解：（1）在Rt△ABC中，∵B点坐标为（8、0），tan∠ABC=12，
∴OB=8，
而tan∠ABC=OCOB=12，
∴OC=4，
∴C（0，4），
又∵△ABC的面积为8，
∴8=12×4×OA，
∴OA=4，
∴A（4，0），
依题意得0=16a+4b+c​0=64a+8b+c4=c​​，
解之得：a=18，b=-32，c=4，
∴y=
18x2-
32x+4；

（2）存在，根据（1）得BA=4，AC=4
2，BC=45，
依题意得：BP=2t，
∵CE=t，tan∠ABC=12，
∴EF=2t，∴CF=5t，
∴BF=4
5-
5t
由△BPF∽△BAC得4
5-
5t4
5=
2t4，得t1=43
由△BPF∽△BCA得4
5-
5t4=
2t4
5化简，t2=
207
所以：t1=43，t2=
207；

（3）根据（2）得BP=2t，MF∥AP，
又直线AC经过A（4，0），C（0，4），那么其解析式为：y=-x+4，
而动直线EF（EF∥x轴），从C点开始，以每秒1个长度单位的速度向x轴方向平移，与x轴重合时结束，并且分别交y轴、线段CB于E、F两点，AC与EF交于点M，M的纵坐标为4-t，
∴M的横坐标为t，
而EF：OB=CE：OC，
∴EF=2t，
∴MF=2t-t=t，AP=OB-OA-BP=8-4-2t，
若M、P、A、F所围成的图形是平行四边形，那么MF=AP，
∴t=8-4-2t=4-2t，
∴t=43；
若M、P、A、F所围成的图形是等腰梯形，那么AM=PF，
∴t=125，
若M、P、A、F所围成的图形是等腰直角三角形，
那么AP重合，
∴t=2．