Question

已知椭圆的两焦点为F1(-1，0 )，F2(1，0)，直线x=4是椭圆的一条准线．

（1）求椭圆方程；
（2）设点P在椭圆上，且 PF1^2-PF2^2=4 ，求cos∠F1PF 2 的值；
（3）设 P(1/2,1)是椭圆内一点，在椭圆上求一点Q，使得 PQ+2QF2 最小．

Answer 1

（1）椭圆准线X=±a^2/c.所以4=a^2/c 得a^2=4c.因为c=1.所以a=2.b^2=a^2-c^2=3
椭圆方程X^2/4+Y^2/3=1
(2)由椭圆定义有PF1+PF2=2a=4.PF1^2-PF2^2=4 解得PF1=5/2，PF2=3/2
余弦定理 cos∠F1PF2=F1F2^2-PF1^2-PF2^2/2PF1PF2=3/5