Question

若f（x）是定义在（0，正无穷）上的增函数，且f（x/y）=f（x）-f（y）

1、解不等式f（x-1）＜0
2、若f（2）=1，解不等式f（x+3）-f（1/x）＜2

Answer 1

1.
∵f（x/y）=f（x）-f（y）
令x=y=1
∴f(1)=f（1/1）=f（1）-f（1）=0
∴f（x-1）＜0
即f(x-1)＜f(1).
又∵f（x）是定义在（0，正无穷）上的增函数
∴解f(x-1)＜f(1)
即解x-1＜1
解得x＜2

2.∵f（2）=1
∴解f（x+3）-f（1/x）＜2
即解f（x+3）-f（1/x）＜2f(2)
→f（x+3）-(f(1)-f(x))＜f(2)+f(2)
→f（x+3）-(0-f(x))＜f(2)+f(2)
→f(x+3)+f(x)＜f(2)+f(2)
→f(x+3)-f(2)＜f(2)-f(x)
→f((x+3)/2)＜f(2/x)
即解(x+3)/2＜2/x
可解得x＜-4或0＜x＜1
又f（x）定义域为（0，正无穷）
∴综上,解得0＜x＜1

Answer 2

(1) 由f(x/y)=f（x）-f（y）,令x=y.则有f（1）=0
又因为f（x）在（0，正无穷）上的增函数，所以当0<x<1时，f(x)<0
解不等式f（x-1）<0即0<x-1<1得1<x<2
(2)由上可知f(1)=0,在f（x/y）=f（x）-f（y）中令x=1，得f（1/y)=f(1)-f(y),得f（x）=-f（1/x）@
由f（2）=1，f（1）=0（令x=1，y=2代入到 f（x/y）=f（x）-f（y） ） 得f（1/2)=-1，，再代x=2，y=1/2到 f（x/y）=f（x）-f（y） 得f（4）=2
由@式可将不等式变化为f（x+3)+f(x)<0,由于f（x）为增函数，所以f（x+3)+f(x)也为增函数（俩个增函数相加）令设F（x)=f（x+3)+f(x),则F(1)=f(4)+f(1)=2所以不等式F（x)<0的解为0<x<1

Answer 3

(1)x-1>0,令x=y=1,得f(1)=0,f(x-1)<0=f(1),因为增函数得，x-1<1,所以1<x<2
(2)令x=4,y=2得f(4/2)=f(4)-f(2),f(4)=2f(2)=2,所以f（x+3）-f（1/x）＜2=f(4)
f((x+3)x)<f(4),所以x+3>0,1/x>0,(x+3)x<4,0<x<1