Question

如图，在三角形ABC中，角A=90度，AB=4，AC=3，M是边AB上的一个动点（M不与A、B），MN//BC交AC于点N

如图，在三角形ABC中，角A=90度，AB=4，AC=3，M是边AB上的一个动点（M不与A、B），MN//BC交AC于点N，三角形AMN关于MN的对称图形是三角形PMN，设AM=x。
问：在动点M的运动过程中，记三角形PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，求x为何值时，y的值最大，是多少？

Answer 1

原题：如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M是边AB上的动点（M不与A，B重合），MN∥BC交AC于点N，△AMN关于MN的对称图形是△PMN．设AM=x．

（1）用含x的式子表示△AMN的面积（不必写出过程）；

（2）当x为何值时，点P恰好落在边BC上；

（3）在动点M的运动过程中，记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？

 

 

分析：

（1）因为MN∥BC，所以△AMN∽△ABC，所以根据相似三角形的性质即可求得MN的值与MN边上的高的值，即可求得面积；

（2）根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=1/2AB=2时，点P恰好落在边BC上；

（3）分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，易见y=3/8 x²

②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F

由（2）知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4

由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．

 

解答：

解：

（1）S△AMN=3/8 x²；

（2）如图2，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，

又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，

∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM

∴点M是AB中点，即当x=1/2AB=2时，点P恰好落在边BC上．

（3）（i）以下分两种情况讨论：

①当0＜x≤2时，易见y=3/8 x²

②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F

由（2）知ME=MB=4-x，

∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4

由题意知△PEF∽△ABC，

∴（PE/AB)²=S△PEF/S△ABC，

∴S△PEF=3/2(x-2)²

∴y=S△PMN-S△PEF=3/8 x²-3/2(x-2)²=-9/8 x²+6x-6

∴y=3/8x²(0＜x≤ 2)

    =-9/8x²+6x-6(2＜x＜4) 

（ii）∵当0＜x≤2时，y=3/8 x²

∴易知y最大=3/8×2²=3/2

又∵当2＜x＜4时，y=-9/8 x²+6x-6=-9/8（x-8/3）²+2．

∴当x=8/3时（符合2＜x＜4），y最大=2，

综上所述，当x=8/3时，重叠部分的面积最大，其值为2．

 

此题考查了折叠问题，要注意对应的线段对应的角相等，此题还考查了相似三角形的性质，解题的关键是数形结合思想的应用．

 

有疑问可以追问哦。。

Answer 2

呵呵，就是这样做的。
当AP=MN=BC/2=5/2，
即5x/4=5/2，x=2时，P在BC上，为BC的中点
所以
当0＜x≤2时
三角形MNP与梯形BCNM重合的面积y=s=3x²/8
当2＜x≤4时
设PM交BC于E,PN交BC于F
AM=x，则MB=4-x
所以EM=MBtanB=(4-x）*3/4=3-3x/4
所以PE=PM-EM=3x/4-(3-3x/4)=3x/2-3
所以s△PEF/s△PMN=(PE/PM)²=[(3x/2-3)/(3x/4)]²=(2-4/x)²
所以s△PEF=(2-4/x)²s△PMN=(2-4/x)²*3x²/8
所以三角形MNP与梯形BCNM重合的面积
y=s△PMN-s△PEF
=3x²/8-(2-4/x)²*3x²/8
=3x²/8*[1-(2-4/x)²]
=-9/8x²+6x-6
即当0＜x≤2时，y=3x²/8
当2＜x≤4时，y=-9/8x²+6x-6
又0＜x≤2时，
y=3x²/8中，y随x增大而增大
即0＜x≤2时，y的最大值=3*2²/8=1.5
2＜x≤4时y=-9/8x²+6x-6
当x=-6/[2（-9/8）]=8/3时，y的最大值=-9/8（8/3）²+6*8/3-6=2
所以当x=8/3时，y最大值=2

Answer 3

如图，在三角形ABC中，角A=90度，AB=4，AC=3，M是边AB上的一个动点（M不与A、B），MN//BC交AC于点N，三角形AMN关于MN的对称图形是三角形PMN，设AM=x。
问：在动点M的运动过程中，记三角形PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，求x为何值时，y的值最大，是多少？
设AM=x。

MN//BC
AM/AB=AN/AC
AN=AM*AC/AB＝3x/4

角A=90度
Samn=AM*AN/2=x*(3x/4)/2=3x^2/8

三角形AMN关于MN的对称图形是三角形PMN，
Samn=Spmn
当x<=AB/2时，点P在三角形ABC内，当且仅当x=AB/2时，点P在BC上，三角形PMN的面积为
Spmn=3x^2/8
三角形PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y=3x^2/8,
x=AB/2=2时，y的值最大，y=3x^2/8=3/2
当x＞AB/2时，点P在三角形ABC外，三角形PMN与梯形MBCN重叠部分的面积
y=x*(3x/4)/2-(2x-4)(3x/2-3)/2=-9x^2/8+6x-6=(-9/8)(x-8/3)^2+2

x=8/3时，y的值最大，y=2
综上所以
x=8/3时，y的值最大，y=2