Question

问一道不等式和数列结合的高中数学问题如图第21题第3个问题

Answer 1

21、解：

Answer 2

你根据第二问做出的通项an和Sn都是正确的，关键在于如何变换bn。
a[n+1]=3^n，2(Sn)^2=2*(1/4)*(3^n-1)^2，所以bn=2*3^n/(3^n-1)^2
注意到，2*3^(n-1)=3^n-3^(n-1)，并且(3^n-1)^2>(3^(n-1)-1)(3^n-1)，
所以可以联想利用放缩法，然后裂项相加。
构造cn=2*3^(n-1)/(3^(n-1)-1)(3^n-1)，并与bn作商比较，结果bn/cn=(3^n-3)/(3^n-1)<1，即bn<cn
明显地，cn=2*3^(n-1)/(3^(n-1)-1)(3^n-1)=1/(3^(n-1)-1)-1/(3^n-1) (n>=2)
因此可以解得答案：
当n=1，T1=b1=3/2<2；
当n>=2，Tn=b1+b2……+bn<b1+c2+……+cn=3/2+(1/2-1/8+1/8-1/26……+1/(3^(n-1)-1)-1/(3^n-1))=3/2+(1/2-1/(3^n-1))=2-1/(3^n-1)<2，所以Tn<2。