Question

证明f(x)=x^(1/3)在[0,1]上一致连续，用定义考察。

用定义只是熟悉一致连续的定义。

Answer 1

闭区间的连续函数一致连续，为什么非要定义？有简单的不用。
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任意 epsilon >0 ,取 delta= epsilon ^ 3
对任意a ,b 属于[0,1](不妨设a>b), |a-b|< delta =epsilon ^3
有|f(a)-f(b)|<epsilon.
{因为
delta>|a-b|=(a^(1/3)-b^(1/3))[(a^(1/3)-b^(1/3))^2+3(ab)^(1/3)]
>=(a^(1/3)-b^(1/3))^3 得 a^(1/3)-b^(1/3) <delta ^(1/3)=epsion. 即 |f(a)-f(b)|<epsilon }

故一致连续。