Question

利用定积分的性质，估计积分∫【∏/4到5∏/4】[1+(sinx)^2]dx

Answer 1

该题应该应用m(b-a)≤∫[a积到b] f(x)dx≤M(b-a) 这条定积分性质
PS：m,M分别为f(x)在区间[a，b]上的最小、最大值

当x∈[∏/4,5∏/4]时.易得f(x)=1+(sinx)^2∈[1,2]
∴1*(5∏/4∏-∏/4)≤∫【∏/4到5∏/4】[1+(sinx)^2]dx≤2*(5∏/4∏-∏/4）
----带入开始给的积分性质公式中。a用∏/4. b用5∏/4替换
即∏≤∫【∏/4到5∏/4】[1+(sinx)^2]dx≤2∏

PS:这是f(x)求取值范围的方法。楼主会的话就略过吧
f(x)=1+(sinx)^2=1+(1-cos2x)/2=3/2- cos2x/2
x∈[∏/4,5∏/4]. 2x∈[∏/2,5∏/2].
cos2x∈[-1,1].- cos2x/2∈[-1/2,1/2].
f(x)=3/2- cos2x/2∈[1,2].

Answer 2

1. 利用积分中值定理 

2. ∫【∏/4到5∏/4】[1+(sinx)^2]dx

   =[1+(sinm)²](5π/4-π/4)

   =[1+(sinm)²]π               sinm范围 [1/√2,1]

   =3π/2 到2π