Question

如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E．求证：

如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E．求证：（1）△AED∽△CBM；（2）AE•CM=AC•CD．
第一问 为什么角CMB=90度+角MBD？！

Answer 1

（1）∵∠A和∠BCM都是∠ACD的余角
∴∠A=∠BCM
又∵∠ADE=∠EDC+90°
       ∠BMC=∠DBM+90° 

 

（由图知，∠BMC是∠DMB的外角，它等于两个不相邻的内角之和，

即，∠BMC=∠DBM+∠CDB

又，CD是斜边AB上的高，

所以，∠CDB＝90° 

所以，∠BMC=∠DBM+90° ）

 

∠EDC和∠DBM都是∠MDE的余角
∴∠BMC=∠ADE
∴△AED∽△CBM

（2）由（1）知AE×CM=AD×BC
又易证 △ACD∽△ABC
∴AD×BC=AC×CD
∴AE×CM=AC×CD

Answer 2

（1）∵∠A和∠BCM都是∠ACD的余角
∴∠A=∠BCM
又∵∠ADE=∠EDC+90°
∠BMC=∠DBM+90°

（由图知，∠BMC是∠DMB的外角，它等于两个不相邻的内角之和，
即，∠BMC=∠DBM+∠CDB
又，CD是斜边AB上的高，
所以，∠CDB＝90°
所以，∠BMC=∠DBM+90° ）

∠EDC和∠DBM都是∠MDE的余角
∴∠BMC=∠ADE
∴△AED∽△CBM

（2）由（1）知AE×CM=AD×BC
又易证 △ACD∽△ABC
∴AD×BC=AC×CD
∴AE×CM=AC×CD