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证明:∵CD是Rt△ABC斜边上的高
∴△ACD是直角三角形,AC⊥BC
且∠BCD=90°-∠CBD..........(1)
∵E为AC的中点
∴AE=DE
∴∠BDF=∠AED=∠DAE..........(2)
∵AC⊥BC
∴∠DAE=90°-∠CDB..........(3)
∴由(1),(2),(3)知∠BDF=∠BCD..........(4)
在△BDF和△CDF中
∵∠DBF=∠BCD+BDC (三角形外角闷举定理)
∠CDF=∠BDF+∠BDC
∴由(4)知∠DBF=∠CDF
∵∠蚂首碧F=∠F (公共角)
∴△芹仿BDF∽△CDF
∴BD/CD=DF/CF (相似三角形对应边成比例)
故BD×CF=CD×DF。证毕。
∴△ACD是直角三角形,AC⊥BC
且∠BCD=90°-∠CBD..........(1)
∵E为AC的中点
∴AE=DE
∴∠BDF=∠AED=∠DAE..........(2)
∵AC⊥BC
∴∠DAE=90°-∠CDB..........(3)
∴由(1),(2),(3)知∠BDF=∠BCD..........(4)
在△BDF和△CDF中
∵∠DBF=∠BCD+BDC (三角形外角闷举定理)
∠CDF=∠BDF+∠BDC
∴由(4)知∠DBF=∠CDF
∵∠蚂首碧F=∠F (公共角)
∴△芹仿BDF∽△CDF
∴BD/CD=DF/CF (相似三角形对应边成比例)
故BD×CF=CD×DF。证毕。
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