Question

在抛物线y^2=4x上,存在两点关于直线y=kx+3对称,求k的范围

Answer 1

设A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线y²=4x上关于直线y=kx+3对称的两点,其中点为M(x0,y0).
一方面，
由 y1²=4x1，y2²=4x2
得 (y2-y1)(y2+y1)=4(x2-x1)
所以 (y2-y1)/(x2-x1)=4/(y2+y1)
即AB的斜率k1=2/y0，y0=2/k1
另一方面 ，k1·k=-1，所以 y0=-2k
又 y0=kx0+3
所以 -2k=kx0+3
x0=(-2k-3)/k
因为 x0>0，所以 (-2k-3)/k>0
即 k(2k+3)<0
解得 -3/2<k<0

Answer 2

对称点设是A(x1,y1) B(x2,y2)
AB中点M(x，y)在直线y=kx+3上
2x=x1+x2 2y=y1+y2
y1²=4x1
y2²=4x2
相减有(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)
所以AB斜率Kab=(y1-y2)/(x1-x2)=4/(y1+y2)=2/y
AB和y=kx+3垂直的
那么kab=-1/k=2/y
另外y=kx+3
联立得到x=(-2k-3)/k y=-2k
该点在抛物线内
即y²<4x
⇒4k²<4(-2k-3)/k⇒(k+1)(k²-k+3)/k<0
所以-1<k<0

追问

在抛物线里面，是存在对称两点必要条件吧。。不是充要！！