Question

阅读下列材料，阅读下列材料，因为（x+3）（x-2）=x²+x-6，所以（x²+x-6）

阅读下列材料，因为（x+3）（x-2）=x²+x-6，所以（x²+x-6）（x-2）=x+3，这说明x²+x-6能被x-2整除，同时也说明多项式x²+x-6有一个因式为x-2，另外，多项式x²+x-6的值为0，回答下列问题：
1.根据上面的材料猜想：多项式的值为0，多项式有因式x-2，多项式能被x-2整除，这三者之间存在一种什么样的联系？
2.一般的，如果一个关于字母x的多项式M，当x=k时，M的值为0，那么M与代数式x-k之间有何种关系？
3.应用，已知x-2能整除x²+kx-14，求k。已知x+4能整除二次三项式M，并且当x=3时，多项式M的值等于0，求二次三项式M（M的二次系数是1）

Answer 1

1，如果条件1为：多项式的值为0，条件2：多项式有因式x-2，条件3：多项式能被x-2整除，则条件3和2能相互推出（因式定义为非零多项式，则x-2不为零），如加上条件1则x=-3.
2，不妨设多项式M(x)= a+bx+cx²+dx³+........，当x=k时，M(k)= a+bk+ck²+dk³+........=0，则M(x)= M(x)-0 = M(x) - M(k)=b(x-k)+c(x-k)²+d(x-k)³+.......=(x-k)(b+c(x-k)+d(x-k)²+..........)，故x≠k下，x-k为M的一个因式。
3，由于二次项系数为1，则假设x²+kx-14=(x-2)(x+p)=x²+(p-2)x-2p,可知2p=14，p=7，推知k=p-2=5；又x+4能整除二次三项式M，且M的二次系数是1，则设M=（x+4）（x+q）=4q+（4+q）x+x²，并且当x=3时，多项式M的值等于0，则4q+3×（4+q）+9=0，得出q=-3，则M=4q+（4+q）x+x²=x²+x-12

Answer 2

wonazhidao