Question

如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：

（1）OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．做BD垂直y轴

         则OB与y轴夹角为30°

         则在△OBD中    OB=4      BD=2     OD=2√3

        则点B坐标为(-2，-2√3)

（2）抛物线方程y=ax²+bx+c

       已知点B(-2，-2√3)     O（0,0）   A(4，0)

       代入方程解得

       a=-√3/6

       b=2√3/3

       c=0

        则抛物线方程y=（-√3/6）x²+（2√3/3）x

（3）若△POB为等腰三角形

        则过P做OB的中垂线PE垂足为E

        OB的直线方程为y=√3x      则垂直于OB直线斜率为k=-1/√3

       设直线PE为 y=kx+m

        已知斜率为k=-1/√3，过E点(-1，-√3) 【OB中点】

       解得m=-4√3/3

       直线PE     y=- √3x/3-4√3/3

       联立直线、抛物线方程y=（-√3/6）x²+（2√3/3）x

                                          y=- √3x/3-4√3/3 

        的x²-6x-8=0      二元一次方程根   x={-b±√（b2－4ac）}/2a

        X1=3+√17    X2=3-√17               

         有根即存在点P

       代入X1，X2

        解得Y1=-(7√3/3+√51/3 )    Y2=-(7√3/3-√51/3 ) 

点P坐标P1(3+√17,-7√3/3-√51/3  )   P2(3-√17,-7√3/3+√51/3)

Answer 2

解：
（1）OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．做BD垂直y轴
则OB与y轴夹角为30°
则在△OBD中 OB=4 BD=2 OD=2√3
则点B坐标为(-2，-2√3)
（2）抛物线方程y=ax²+bx+c
已知点B(-2，-2√3) O（0,0） A(4，0)
代入方程解得
a=-√3/6
b=2√3/3
c=0
则抛物线方程y=（-√3/6）x²+（2√3/3）x
（3）若△POB为等腰三角形
则过P做OB的中垂线PE垂足为E
OB的直线方程为y=√3x 则垂直于OB直线斜率为k=-1/√3
设直线PE为 y=kx+m
已知斜率为k=-1/√3，过E点(-1，-√3) 【OB中点】
解得m=-4√3/3
直线PE y=- √3x/3-4√3/3
联立直线、抛物线方程y=（-√3/6）x²+（2√3/3）x
y=- √3x/3-4√3/3
的x²-6x-8=0 二元一次方程根 x={-b±√（b2－4ac）}/2a
X1=3+√17 X2=3-√17
有根即存在点P
代入X1，X2
解得Y1=-(7√3/3+√51/3 ) Y2=-(7√3/3-√51/3 )

点P坐标P1(3+√17,-7√3/3-√51/3 ) P2(3-√17,-7√3/3+√51/3)

Answer 3

我做了P(2，2根号3），（2，-2根号3），（2，4根号3）（2,根号3）