Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以BD的中点O为球心,BD为直径的球面交

PD于点M求直线PC与平面ABM所成角的正切值

Answer 1

∵M在以O为球心,以BD为直径的球面上,
∴OM=OB=OD,
∴在平面PBD上,△MBD是RT△,
∴BM⊥PD,
∵根据勾股定理,PB=2√5,
BD=2√5,
∴PB=BD,
∴△BPD是等腰△,
∴M是PD的中点,
∵PA=AD=4,PA⊥AD,
∴△APD是等腰RT△,
∴AM⊥PD,
∵AM∩BM=M,
∴PD⊥平面ABM,
取PC中点N,连结MN、BN，
∵MN是△PCD的中位线，
∴MN//CD，且MN=CD/2=AB/2=1，
∵CD//AB，
∴MN//AB，
∴A、B、N、M在同一平面上，
∵PM⊥平面ABM，
∴〈PNM就是PC与平面ABM所成角，
PM=PD/2=4√2/2=2√2，
∴tan<PNM=PM/MN=2√2/1=2√2，
∴直线PC与平面ABM所成角的正切值为2√2。