Question

∫（0,x）f(x-t)dt求导。令u=x-t,du=-dt,原式=-∫（x,0）f(u)du为什么

dt=-du,并且上下限换了，不是应该再添一个负号吗，所以原式=∫(x,o)f(u)du。我这样想，为什么错了。。。

Answer 1

∫[0,x] f(x-t)dt
令u=x-t，则du=-dt
∫[0,x] f(x-t)dt
=∫[x-0,x-x] f(u)(-du)
=-∫[x,0] f(u)du
实际上只是做了u=x-t的变换，并没有交换上下限。因为原上下限为(0,x)是t的取值范围，令u=x-t后，当t=0时，u=x-0=x；当t=x时，u=x-x=0。即t∈(0,x)，则u∈(x,0)，所以积分变量换成u后，上下限就自然变成了(x,0)，而不是再次交换上下限
当然也可以继续化简下去
=-∫[x,0] f(u)du
=∫[0,x] f(u)du
此时就是交换上下限了，而负号也就没有了
如果直接写成∫[0,x] f(x-t)dt = ∫[0,x] f(u)du其实就是将以上两步合并（也就是跳步骤），初学者可能就很难理解了，所以最好分步写∫[0,x] f(x-t)dt =(令u=x-t)= -∫[x,0] f(u)du =(交换上下限)= ∫[0,x] f(u)du

Answer 2

首先题目里的变量是t,从积分里的dt这里看出来,所以x不是变量
就跟题目里dx存在,x是变量,t是常数一样
一般默认(习惯)x是参数只是因为大家习惯用x了,其实变量就是从微分dt那里看的
其次是题目里存在dt,而不存在d(x+t)和dx+dt,虽然等式都是正确的,但在本题中只用到dt

Answer 3

t的上下限是（0，x），所以0<t<x t=x-u 0<x-u<x 0<u<x

并没有换上下限，所以无需添符号！！！望采纳！！！

楼主你弄错积分上下限了！！

追问

那为什么∫后面的0与x要上下换位置

追答

0<t<x t=x-u 0<x-u<x -x<u-x<0 0<u<x

追问

那∫前面为毛添负号啊！∫后为毛不写成（0，x）啊！

追答

貌似题目错了吧！

Answer 4

上下限换了，然后dt=-du
注意这里不是又多出来一个负号吗？
然后两都就可以抵销掉

追问

不对啊，前面有添负号。。。求解释

追答

你上下限换了，是不是一个负号？
dt=-du是不是又多出来一个负号

负负得正

追问

这样是错的。正确的解法是原式=-∫（x,0）f(u)du为什么有负号啊？

追答

对啊
-∫（x,0）f(u)du

=∫（0,x）f(u)du

追问

第一个负号怎么来的

追答

dt=-du呀，真晕了