Question

已知数列{an}满足：a1=1,a(n+1下标)=an/an+1

①证明数列(1/an)为等差数列，并求{an}的通项公式
②如果数列{2的n次/an}的前n项和为Sn，求Sn——在线等，要详细过程

Answer 1

1.
a(n+1)=an/(an +1)
1/a(n+1)=(an +1)/an =1/an +1
1/a(n+1)-1/an=1，为定值。
1/a1=1/1=1
数列{1/an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
1/an=1+(n-1)=n
an=1/n
数列{an}的通项公式为an=1/n。
2.
2^n/an=2^n/(1/n)=n×2^n
Sn=1×2+2×2^2+3×2^3+...+n×2^n
2Sn=1×2^2+2×2^3+...+(n-1)×2^n+n×2^(n+1)
Sn-2Sn=-Sn=2+2^2+...+2n -n×2^(n+1)=2×(2^n -1)/(2-1)-n×2^(n+1)=(1-n)×2^(n+1) -2
Sn=(n-1)×2^(n+1) +2

Answer 2

1.
a(n+1)=an/(an +1)
1/a(n+1)=(an +1)/an =1/an +1
1/a(n+1)-1/an=1，为定值。
1/a1=1/1=1
数列{1/an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
1/an=1+(n-1)=n
an=1/n
数列{an}的通项公式为an=1/n。
2.
2^n/an=2^n/(1/n)=n×2^n
Sn=1×2+2×2^2+3×2^3+...+n×2^n
2Sn=1×2^2+2×2^3+...+(n-1)×2^n+n×2^(n+1)
Sn-2Sn=-Sn=2+2^2+...+2n -n×2^(n+1)=2×(2^n -1)/(2-1)-n×2^(n+1)=(1-n)×2^(n+1) -2
Sn=(n-1)×2^(n+1) +2

Answer 3

(1)
a(n+1) = an/(an+1)
a(n+1). an = an - a(n+1)
1/a(n+1) -1/an = 1
=> (1/an)为等差数列
(2)
1/a(n+1) -1/an = 1
1/an -1/a1 = (n-1)
1/an = n
an = 1/n
let
bn = 2^n/an
=n.2^n
= 2(n. 2^(n-1))
consider
1+x+x^2+..+x^n = [x^(n+1)-1]/(x-1)
1+2x+...+nx^(n-1) = ([x^(n+1)-1]/(x-1))'
=[nx^(n+1) -(n+1)x^n +1]/(x-1)^2
put x= 2
1.2^0+2.2^1+...+n.2^(n-1) = n2^(n+1) -(n+1)2^n +1
= (n-1).2^n +1
Sn = b1+b2+..+bn
= 2[(n-1).2^n +1]

Answer 4

a(n＋1)=[a(n)]/[a(n)＋1]
取倒数，得：
1/[a(n＋1)]=1/[a(n)]＋1
即：1/[a(n＋1)]－1/[a(n)]=1=常数
数列{1/a(n)}是以1/(a1)=1为首项、以d=1为公差的等差数列，得：
1/a(n)=1＋(n－1)d=n
得：
a(n)=1/n

2的n次方：2^n
2的n次方/[a(n)]=n×2^n
则：
Sn=1×2＋2×2²＋3×2³＋…＋n×2^n
2Sn=1×2²＋2×2³＋…＋n×2^(n＋1)
两式相减，得：
－Sn=2＋2²＋2³＋…＋2^n－n×2^(n＋1)
=(1－n)×2^(n＋1)－2
得：Sn=(n－1)×2^(n＋1)＋2

Answer 5

（2）