Question

已知函数f(x)=lnx-x,若关于x的方程f(x)-x^3+2ex^2-bx=0恰有一解，求b值。 帮忙解答，谢谢！

如图，A,B是椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右顶点，M是椭圆上异于A,B的任意一点，过E（0，-b），求椭圆离心率取值范围、

Answer 1

lnx-x^3+2ex^2-(b+1)x=0
bx=lnx-x^3+2ex^2-x
b=lnx/x-x^2+2ex-1
构造函数f(x)=lnx/x-x^2+2ex-1（x>0),
则f'(x)=(1-lnx)/x^2-2x+2e
x=e时，f'(x)=0;
x>e时，f‘(x)<0;
x<e时，f’(x)>0;
所以x=e时f(X)取得极大值,
所以b的最大值为f(e)=e^2+1/e-1
又因为恰有一解，所以b=e^2+1/e-1
完毕
谢谢

Answer 2

因为方程f（x）-x3+2ex2-bx=0恰有一解，
即lnx-x-x3+2ex2-bx=0恰有一解，即
lnx
x
=x2-2ex+b+1恰有一解，
由（1）知，h（x）在x=e时，h(x)max=
1
e
，…（12分）
而函数k（x）=x2-2ex+b+1在（0，e]上单调递减，在[e，+∞）上单调递增，
故x=e时，k（x）min=b+1-e2，
故方程
lnx
x
=x2-2ex+b+1恰有一解当且仅当b+1-e2=
1
e
，
即b=e2+
1
e
-1；

Answer 3

对已知方程求导可得：1/x-1-3x²+4ex-b=0 即 1-x-3x³+4ex²-bx=0
对方程再次求导可得:-1-9x²+8ex-b=0
由于方程恰有一解：Δ=64e²-36(b+1)=0 得：b=16e²-9/9