Question

已知函数F(x)=2lnx/x, (1)求f(x)的最大值以及对应的x; (2)讨论关于x的方程；2lnx=2x^3-4ex^2+tx根的个数

Answer 1

函数定义域为（0，+∞）。
令 f '(x)=(2-2lnx)/x^2=0，则 x=e ，
当 0<x<e 时，f '(x)>0 ，当 x>e时，f '(x)<0，
所以 f(x) 在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
因此，函数在x=e处取最大值f(e)=2/e 。

2）因为 x>0 ，所以由已知得 2lnx/x=2x^2-4ex+t ，
即 f(x)=2(x-e)^2+t-2e^2 ，
由于 2(x-e)^2+t-2e^2 最小值为 t-2e^2 (x=e时取)，
所以 （1）当 t-2e^2>2/e 即 t>2e^2+2/e 时，方程无根；
（2） 当 t-2e^2=2/e 即 t=2e^2+2/e 时，方程有唯一实根 x=e ；
（3）当 t-2e^2<2/e 即 t<2e^2+2/e 时，方程有两个不同实根 。