Question

设f(x)在区间【a,b】上连续且f(x)>0,F(x)=∫(a,x)f(x)dx+∫(x,b)dx/f(x),证明F(x)的导数大于等于2

Answer 1

这题符号有点问题：F(x)=∫(a,x)f(x)dx-∫(x,b)dx/f(x), （不是+号）
1.F‘(x)=f(x)dx-1/f(x)(-1))=f(x)+1/f(x)》2 （下限求导有个-号）
2.F(a)=-∫(a,b)dx/f(x) F(b)=∫(a,b)f(x)dx
F(a)F(b)=-[∫(a,b)dx/f(x)[∫(a,b)f(x)dx]<0
故F（x）=0在（a，b）上至少有一个根，但F‘(x)>0,F(x)单增
故F（x）=0在（a，b）上有且只有一个根。

Answer 2

F(x)=∫(a,x)f(x)dx+∫(x,b)dx/f(x)
F'(x)=f(x)+1/f(x)
f(x)>0
f(x)+1/f(x)≥2
F'(x)≥2

追问

怎么证明F（x）=0在（a，b）上有且只有一个跟？谢谢！

追答

不可能
f(x)>0 1/f(x)>0
根据积分保号性
∫(a,x)f(x)dx>0
∫(a,x)dx/f(x>0
F(x)=∫(a,x)f(x)dx+∫(x,b)dx/f(x)>0