Question

已知函数f（x）＝（x＾2＋ax－2a＾2＋3a）＊e＾x （x属于R），其中a属于R，当a≠2／

已知函数f（x）＝（x＾2＋ax－2a＾2＋3a）＊e＾x （x属于R），其中a属于R，当a≠2／3时，求函数f（x）的单调区间与极值

Answer 1

数学之美团为你解答

由函数的表达式f(x)=(x^2+ax-2a^2+3a)*e^x 得：f'(x)=(2x+a)e^x+(x^2+ax-2a^2+3a)*e^x
=(x^2+(a+2)x+4a-2a^2)e^x，如果f'(x)=0，则：x^2+(a+2)x+4a-2a^2=0
判别式delta=(3a-2)^2，因a≠2/3，故delta>0
解得：x=(-(a+2)+(3a-2))/2或(-(a+2)-(3a-2))/2，即：x1=a-2，x2=-2a
(1)
当a>2/3时，x1>x2，所以当x<-2a时，f'(x)>0；当-2a<x<a-2时，f'(x)<0；当x>a-2时，f'(x)>0
此时函数f(x)的单调区间是：x在(-inf,-2a]上是增函数；在[-2a,a-2]上是减函数
在[a-2,inf)上是增函数

当a<2/3时，x1<x2，所以当x<a-2时，f'(x)>0；当a-2<x<-2a时，f'(x)<0；当x>-2a时，f'(x)>0
此时函数f(x)的单调区间是：x在(-inf,a-2]上是增函数；在[a-2,-2a]上是减函数
在[-2a,inf)上是增函数
(2)
由前面推导知：当a>2/3时，x1>x2，有f'(-2a)=0，在-2a的2侧临域内
当x<-2a时，f'(x)>0，当x>-2a时，f'(x)<0，所以f(x)在x=-2a处取得极大值：3a/e^(2a)
又f'(a-2)=0，在a-2的2侧临域内，当x<a-2时，f'(x)<0，当x>a-2时，f'(x)>0
所以f(x)在x=a-2处取得极小值：(4-3a)e^(a-2)

当a<2/3时，x1>x2，有f'(a-2)=0，在a-2的2侧临域内，当x<a-2时，f'(x)>0
当x>a-2时，f'(x)<0，所以f(x)在x=a-2处取得极大值：(4-3a)e^(a-2)
又f'(-2a)=0，在-2a的2侧临域内，当x<-2a时，f'(x)<0，当x>-2a时，f'(x)>0
所以f(x)在x=-2a处取得极小值：3a/e^(2a)

Answer 2

解：'.'.f(x)=(x^2+ax-2a^2+3a)*e^x
　　.'. f'(x)=e^x*(x^2+ax-2a^2+3a+2x+a)=e^x*(x+2a)(x+2-a)
　　令 f'(x)=0，解得x1=-2a,x2=a-2,
　　'.'a ≠2/3 .'.x1≠x2
　　当x1>x2,即a<2/3时，f'(x)>0得x<a-2或x>-2a
f'(x)<0得a-2<x<-2a
.'.f(x)在x<a-2和x>-2a上递增，在（a-2,-2a)上递减。当x=a-2时，f(x)有极大值，当x=-2a时，f(x)有极小值.
当x1<x2,即a>2/3时，f'(x)>0得x>a-2或x<-2a
f'(x)<0得-2a<x<a-2
.'.f(x)在x>a-2和x<-2a上递增，在（-2a,a-2)上递减。当x=-2a时，f(x)有极大值，当x=a-2时，f(x)有极小值.