Question

高一数学线面的关系题目‘’‘’‘‘‘’’’

一个几何体的直观图及三视图如图，M，N分别是AF，BC的中点。求：（1）求证：MN平行平面CDEF（2）求多面体的体积，求过程

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Answer 1

解：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，
且AB=BC=BF=2，DE=CF=2√ 2，∴∠CBF= π/2．
（1）证明：取BF的中点G，连接MG、NG，
由M，N分别为AF，BC的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，
∴平面MNG∥平面CDEF，又MN⊂平面MNG，
∴MN∥平面CDEF．
（2）取DE的中点H．
∵AD=AE，∴AH⊥DE，
在直三棱柱ADE-BCF中，
平面ADE⊥平面CDEF，
平面ADE∩平面CDEF=DE．∴AH⊥平面CDEF．
∴多面体A-CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH=√ 2．
S矩形CDEF=DE•EF=4√ 2，
∴棱锥A-CDEF的体积为
V= 1/3•S矩形CDEF•AH= 1/3×4√ 2×√ 2= 8/3．