Question

函数y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）的值域是多少？

Answer 1

y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）
∵y=2-3x/（x²+x+1）
∵y=2-3/（x+1/x+1）
此时分情况：
①x＞0时
∵x+1/x≥2√x×1/x=2
∴3/（x+1/x+1）≤3/（2+1）=1
∴-3/（x+1/x+1）≥-3/（2+1）=-1
∴y≥2-3/（2+1）=2-1=1
∵-3/（x+1/x+1）＜0
∴y=2-3/（x+1/x+1）＜2
此时函数在y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）①x＞0时的值域为[1，2)
②x=0时
y=2/1=2
此时函数在y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）②x=0时的值域为[2]
③x＜0时
y=2-3/（x+1/x+1）
y=2+3/[-x+（-1/x）-1]
∵-x+（-1/x）≥2√-x×（-1/x）=2
∴3/[-x+（-1/x）-1]≤3/（2-1）=3
∴y≤2+3/（2-1）=2+3=5
∵3/[-x+（-1/x）-1]＞0
∴y=2+3/[-x+（-1/x）-1]＞2
此时函数在y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）③x＜0时的值域为(2，5]
综合①②③几种情况得：函数在y=（2x2-x+2）/（x2+x+1）实数范围内的值域为[1，5]

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Answer 2

求函数的值域，即关于x的方程有解实数解时的y的取值范围。
将函数化为关于x的方程：(2-y)x^2 -(y+1)x +(2-y)=0;
方程有解，即 (y+1)^2 -4(2-y)^2 ≥ 0
化简为：y^2 - 6y + 5≤ 0
解得：1≤ y ≤ 5值域为[1，5]

Answer 3

yx^2+yx+y=2x^2+2x+5
(y-2)x^2+(y-2)x+y-5=0
方程必有解：△≥0
(y-2)^2-4(y-2)(y-5)≥0
(y-2)(y-6)≥0
y≥6或y≤2