Question

设函数f(x)=x³+ax²-a²x+m(a＞0)

①若a=1时函数f(x)有三个互不相同的零点，求m的取值范围
②若函数f(x)在x∈［1，－1］内没有极值点，求a的取值范围

Answer 1

a=1 时：
f(x)=x^3+x^2-x+m
两个极值点分别为：
x1=-1 , x2=1/3
根据前面两个问题的分析，可知：
f(x)极大=f(-1)=m+1
f(x)极小=f(1/3)=m-5/27
要使有三个不同的零点，则由图像增减的性质，则有：
f(x)极大=f(-1)=m+1>0
f(x)极小=f(1/3)=m-5/27<0
解得m范围为：
{m| -1<m<5/27}

2。
对f(x)求导得：
f(x)'=3x^2+2ax-a^2
解得两个极值点分别为：
x1=-a , x2=a/3
当a=0 时：
x1=x2=0,
故此时f(x)在R上都不存在极值点，满足条件。
当a≠0时：
考虑到 x1=-a和x2=a/3 这两个极值点一定异号，必定两极值点一正一负，而题意要求在[-1,1]之间无极值点，因此：
当a>0 时,要满足题意，则：
x1=-a<-1 且 x2=a/3>1
解得：
a~(3,+∞)
当a<0 时，要满足题意，则同理有：
x1=-a>1 且 x2=a/3<-1
解得：
a~(-∞,-3)
因此，综上所述得a的范围为：
{a| a<-3 或 a>3 或 a=0}