Question

如图在平行四边形ABCD中,AE垂直BD,CF垂直BD,垂足分别为点E,F.点G,H分别为AD,BC的中点试证明EF和GH互相平分

Answer 1

∵ABCD是平行四边形，∴S(△ABD)＝S(△CBD)，又AE⊥BD、CF⊥BD，∴AE＝CF。
∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，又AE＝CF、∠AED＝∠CFB＝90°，∴△AED≌△CBF，
∴DE＝BF、∠GDE＝∠HBF。

∵AD＝BC、DG＝AD/2、BH＝BC/2，∴DG＝BH，又DE＝BF、∠GDE＝∠HBF，
∴△DGE≌△BHF，∴EG＝FH、∠DEG＝∠BFH。

∵∠DEG＝∠BFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴EG∥FH，又EG＝FH，∴EGFH是平行四边形，
∴EF、GH互相平分。