Question

设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，那么关于他们之间对应的奇偶性，单调性以及周期性是什么关系。

小弟，先谢谢了

Answer 1

奇偶性：f(x)奇=>一切F(x)偶，f(x)偶=>仅有一个F(x)奇。F(x)偶=>f(x)奇，F(x)奇=>f(x)偶。
周期性：F(x)是T的周期函数=>f(x)是T的周期函数，反之不成立。
单调性：F(x)是严格单调函数=>f(x)是严格单调函数，反之不成立。

追问

能不能分别举个例子，或者反例啊，看的有点费解。。。

追答

奇偶性：
f(x)偶=>仅有一个F(x)奇：反例f(x)=x^2，取F(x)=1/3x^3+1，不是奇，就是说只有当C=0时F(x)才是奇函数。
周期性：
反例：f(x)=(cosx)^2是Pi的周期，它的原函数F(x)=x/2+sin2x/4+C都不是周期函数。
单调性：
反例：U(x)=∫（x~0）f（t）dt中令f(x)是偶函数，U(-x)=∫（-x~0）f（t）dt令t=-y，
=∫（x~0）f（-y）（-dy）=-∫（x~0）f（y）dy=-U（x），所以∫（x~0）f（t）dt是奇函数，设F（x）为f(x)的原函数=∫（x~0）f（t）dt+C，只有当C=0时，F（x）才是奇函数。

Answer 2

原函数为奇函数，函数为偶函数；原函数为偶函数，函数不一定是奇函数；周期函数的原函数，导函数都为周期函数