a,b,c是不全相等的正数,求证2(a³+b³+c³)>a(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b)
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右侧第一个a有平方
∵a³+b³-a²b-ab²
=a²(a-b)+b²(b-a)
=(a-b)(a²-b²)
=(a-b)²(a+b)≥0
∵a,b>0
∴(a-b)²(a+b)≥0 (a=b时取等号）
∴a³+b³≥a²b+ab² ①
同理可证
b³+c³≥b²c+bc² ②
c³+a³≥a²c+ac² ③
①②③相加
∵a,b,c是不全相等的正数
∴结果没有等号
∴2（a³+b³+c³)>a²b+ab²+b²c+bc² +a²c+ac²
即 2(a³+b³+c³)>a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b)
∵a³+b³-a²b-ab²
=a²(a-b)+b²(b-a)
=(a-b)(a²-b²)
=(a-b)²(a+b)≥0
∵a,b>0
∴(a-b)²(a+b)≥0 (a=b时取等号）
∴a³+b³≥a²b+ab² ①
同理可证
b³+c³≥b²c+bc² ②
c³+a³≥a²c+ac² ③
①②③相加
∵a,b,c是不全相等的正数
∴结果没有等号
∴2（a³+b³+c³)>a²b+ab²+b²c+bc² +a²c+ac²
即 2(a³+b³+c³)>a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b)
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