Question

点c为线段ab上任意一点（不与a,b重合）分别以ac，bc为一腰在ab的同侧做等腰三角形acd和等腰三角形bce

ca=cd，cb=ce，∠acd与∠bce都是锐角且∠acd=∠bce，连接bd交ce于点n，ae与bd交于点p，连接pc。问：（1）请你判断∠ACD与∠APD的关系并说明理由.（2）求证：∠APC=∠BPC.

Answer 1

证 1.AC=DC,CE=CB
∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB(SAS)
∠CAM=∠CDP
∠DMP=∠AMC
∴△ACM∽△DPM
2.∵△ACE≌△DCB
∴点C到AE、DB的距离相等
∴CP平分∠APB
即∠APC=∠BPC

Answer 2

（1）证明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵CA=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB．

（2）解：△AMC∽△DMP．
理由：∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
又∵∠AMC=∠DMP，
∴△AMC∽△DMP．

（3）证明：分别过C作CH⊥AE垂足为H，C作CG⊥BD垂足为G，
∵△ACE≌△DCB．
∴AE=BD，
∵S△ACE=S△DCB（全等三角形的面积相等），
∴CH=CG，
∴∠APC=∠BPC（角平分线的性质定理的逆定理）．

Answer 3

（1）
∵△ADC △CEB都为等腰三角形
∴DC=AC CE=CB
∵∠ACD=∠BCE
∴∠ACD＋∠DCE=∠BCE＋∠DCE
即∠ACE=∠BCD
在△ACE和△DCB中
AC=DC
∠DCB=∠ACE
CE=CB
∴△ACE≌△DCB
（2）
.∵△ACE≌△DCB
∴点C到AE、DB的距离相等
∴CP平分∠APB
即∠APC=∠BPC