Question

已知函数f(x)=ax+a/x+b(a,b∈R)的图像在点（1，f(x)）处的切线在y轴上的截距为3，若f(x)

已知函数f(x)=ax+a/x+b(a,b∈R)的图像在点（1，f(x)）处的切线在y轴上的截距为3，若f(x)>x在（1，+无穷）上恒成立，则a的取值范围是【求详解】

Answer 1

数学之美团为你解答
此题考查的是“对勾”函数的性质。
函数定义域：x≠0，方便起见，只考虑x>0的部分。
f'(x)=a-a/x^2，当x=1时，f'(x)=0，即此时函数的切线平行于x轴，
当a>0时，f'(x)=a(1-/x^2)，在x>1时，f'(x)>0
在0<x<1时，f'(x)<0，所以此时函数在x=1处取得最小值：2a+b，由题意知2a+b=3

当a<0时，f'(x)=a(1-/x^2)，在x>1时，f'(x)<0
在0<x<1时，f'(x)>0，所以此时函数在x=1处取得最大值：2a+b，由题意知2a+b=3
由于此时，0<x<1时函数是增函数，x>1时函数是减函数，且最大值是3，所以不能
保证在(1,inf)上恒有f(x)>x

当a=0时，f(x)=b，也不能保证在(1,inf)上恒有f(x)>x

当0<a<1时，令g(x)=f(x)-x=(a-1)x+a/x+b，g'(x)=a-1-a/x^2<0，函数是减函数
在(1,inf)上不可能恒有g(x)>0
当a=1时，b=1，g(x)=1/x+b=1/x+1，在(1,inf)上恒有g(x)>1
当a>1时，g'(x)=a-1-a/x^2，当x=sqrt(a/(a-1))时，g'(x)=0，当x<sqrt(a/(a-1))时，是减函数
当x>sqrt(a/(a-1))时，是增函数，在x=sqrt(a/(a-1))处，函数取得最小值：gmin=2sqrt(a(a-1))+b
=2sqrt(a(a-1))+3-2a，如果a≤3/2，gmin>0；如果a>3/2，gmin=2sqrt(a(a-1))-(2a-3)
由于2a(a-1)-(4a^2-12a+9)=8a-9>3，所以：gmin>sqrt(3)，在(1,inf)上恒有g(x)>0
所以，当a≥1时，在(1,inf)上恒有g(x)>0，即f(x)>x

这样求解看上去有点复杂，当然有更简便的方法，以上求解只是说明一种思路。
f'(x)=a-a/x^2，当x趋于inf时，f'(x)趋于a，所以此时的渐近线是一条斜率为a的直线
设方程为y=ax+h，因为当x>0时，函数的最小值是3，当x<0时，函数的最大值是-2a+b
=3-4a，而函数f(x)=ax+a/x+b是由“对勾”函数ax+a/x沿y轴平移b个单位得到的
所以函数图像一定关于x=0，y=(3+3-4a)/2=3-2a，即：点(0,3-2a)对称，所以渐近线
也经过此点，即：h=3-2a，即渐进线的方程是：y=ax+3-2a
所以当a≥1时，渐近线的斜率大于等于y=x的斜率1，在(1,inf)上函数f(x)的图像始终
在y=x的上方，即：f(x)>x成立。