Question

已知数列A中，A1=2，对于任意的P,Q属于正整数，Ap+q=Ap+Aq,①求数列A的通项公式。

②若数列BN满足AN=B1/2+1-B2/2的平方+1+B3/2的三次方加1 -B4/2的四次方加1 +。。。+（-1）*BN/2的N次方加1，求BN的通项公式。（上面第①问不用管，只要答第②问就行了

Answer 1

①an=2n
②an=b1/2-b2/2²+b3/2³-b4/2⁴+...........+(-1)^(n+1)bn/2ⁿ
当n=1时，a1=b1/2,b1=2a1=4
当n≥2时，
a(n-1)=b1/2-b2/2²+b3/2³-b4/2⁴+...........+(-1)^n*b(n-1)/2^(n-1)
an-a(n-1)=(-1)^(n+1)bn/2ⁿ=2
bn=(-1)^(n+1)*2^(n+1)=(-2)^(n+1) (#)
n=1时，(#)也成立

∴bn=(-2)^(n+1) (n∈N*)

若是
②an=b1/2-b2/2²+b3/2³-b4/2⁴+...........+(-1)^(n+1)bn/2ⁿ+1
当n=1时，a1=b1/2+1, b1=2（a1-1）=2
当n≥2时，
a(n-1)=b1/2-b2/2²+b3/2³-b4/2⁴+...........+(-1)^n*b(n-1)/2^(n-1)+1
an-a(n-1)=(-1)^(n+1)bn/2ⁿ=2
bn=(-1)^(n+1)*2^(n+1)=(-2)^(n+1) (#)
n=1时，(#)不成立

∴bn=｛2 （n=1)
{(-2)^(n+1) (n∈N*)

追问

大哥，你题目看错了。是
an=b1/（2+1）-b2/（2²+1）+b3/（2³+1）-b4/（2⁴+1）+...........+(-1)^(n+1)bn/（2ⁿ+1）n属于正整数

追答

an=b1/(2+1)-b2/(2²+1)+b3/(2³+1)-b4/(2⁴+1)+...........+(-1)^(n+1)bn/(2ⁿ+1)
当n=1时，a1=b1/(2+1), b1=6
当n≥2时，
a(n-1)=b1/(2+1)-b2/(2²+1)+b3/(2³+1)-b4/(2⁴+1)+...........+(-1)^n*b(n-1)/[2^(n-1)+1]
an-a(n-1)=(-1)^(n+1)bn/(2ⁿ+1)=2
bn=(-1)^(n+1)*[2^(n+1)+2]
n=1时，上式成立

∴bn=bn=(-1)^(n+1)*[2^(n+1)+2] (n∈N*)

Answer 2

(1)a(n+1)=a(n)+a(1)=a(n)+2,
{a(n)}是首项为2,公差为2的等差数列.
a(n)=2+(n-1)*2=2n

(2)
an=b1/（2+1）-b2/（2²+1）+b3/（2³+1）-b4/（2⁴+1）+...........+(-1)^(n+1)bn/（2ⁿ+1）,
2=a(1)=(-1)^(1+1)b(1)/(2+1)=b(1)/3, b(1)=6,
2=a(n+1)-a(n)=(-1)^(n+2)b(n+1)/[2^(n+1)+1],
(-1)^(n+2)b(n+1)=2[2^(n+1)+1],
b(n+1)=(-1)^(n+2)*2[2^(n+1)+1],
b(n)=(-1)^(n+1)*2[2^n+1]